MATERIAL AUDIOVISUAL

http://www.youtube.com/watch?v=o76zI0YBmMs

http://www.youtube.com/watch?v=otA-WgcB8Gk

APLICACIONES

Caracteristicas y Aplicaciones del pendulo

Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Osc. ( tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones).

1) El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 pendulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo.

2) El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.

FRECUENCIA: Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación N° de Osc. / T ( número de oscilaciones dividido del tiempo)

AMPLITUD: Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura.

CICLO: Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto.

OSCILACIÓN: Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo

Aplicaciones

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada.

Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

También sirve, puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris (latitud≅49º). Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el Péndulo señalaba la trayectoria: demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.

PENDULO (MAS)

PÉNDULO Y M. A. S.

El movimiento de un péndulo corresponde al tipo de movimiento llamado M. A. S., o sea,Movimiento vibratorio Armónico Simple. Vamos a ver que esto es cierto. Empezamos viendo unos conceptos elementales:
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del mivimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.
El movimiento de un péndulo es periódico, pues sus variables se repiten de forma constante tras un cierto tiempo. A este tiempo, le llamamos PERÍODO del péndulo. Vemos en el siguiente applet la variación de la velocidad del péndulo en su movimiento. Observa que adopta posiciones máximas en el centro y mínimas en los extremos. ¡Atención! solo nos interesan los valores absolutos de los módulos de las velocidades.

Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.

Evidentemente el movimiento del péndulo es oscilatorio, tal y como se puede comprobar en el applet anterior, donde observamos un punto de máxima separación (coincide con el valor de mínima velocidad) y un mínimo en el centro (máxima velocidad).

Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

También es fácil determinar en el applet anterior que el péndulo cumple esta condición. Por consiguiente, podemos afirmar que el péndulo posee un movimiento vibratorio.

Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.

Habíamos visto en el péndulo que aparecía una fuerza que originaba este proceso de recuperación. Era una componente del peso, según vemos en el gráfico:

Esa fuerza, por la 2ª ley de Newton, originará una aceleración. Si conseguimos demostrar que esta aceleración es variable, demostraremos que el péndulo posee un movimiento vibratorio armónico simple. Para ello, solo tienes que observar el applet que va a continuación. En el observarás un péndulo oscilando y verás que la fuerza recuperadora (en rojo) varía al separarse y acercarse al centro de equilibrio. Consecuentemente, la aceleración que origina también variará. Por ello, podemos afirmar que el péndulo posee un movimiento vibratorio armónico simple.

Vamos a comprobar que el péndulo posee también otra de las características de los M. A. S. que es que la representación gráfica de la mayoría de sus magnitudes tiene forma sinusoidal. O sea, una representación semejante a la función seno (recuerda que es como una onda). Para ello, debes pulsar el botón que encontrarás más abajo y se abrirá una ventana com un applet. Sigue las instrucciones para la realización práctica y luego cierra esa ventana para volver aquí.

PÉNDULO SIMPLE O PÉNDULO MATEMÁTICO

Se denomina péndulo a un cuerpo que puede girar a un eje que no pase por su centro de masas o de gravedad, describiendo un movimiento armónico simple. El péndulo simple o matemático es aquel que se considera formado por una masa puntual o de pequeñas extensiones suspendida del extremo de un hilo, que se supone inextensible y sin masa, de forma que pueda oscilar respecto al otro extremo del hilo que se supone fijo.

El cuerpo estará en la posición de equilibrio cuando el centro de gravedad de la masa m esté en la vertical del punto de suspensión O, es decir, cuando la masa esté en la posición C. Si llevamos m al punto A y lo abandonamos, el péndulo comenzará a oscilar describiendo el arco ABC; debido a la velocidad adquirida sobrepasará C y llegará hasta D, punto en el que la velocidad volverá a anularse y comenzará el descenso en sentido contrario. Si no existiera resistencia del aire ni rozamiento en el punto O, el movimiento sería indefinido, pero en la práctica esta inexistencia de fuerzas resistentes es imposible y el movimiento se va amortiguando hasta pararse.

El movimiento pendular se irá repitiendo de forma periódica, por lo menos idealmente. También se lo denomina movimiento oscilatorio.

La justificación teórica de este movimiento es sencilla.

Si observamos la figura veremos que: el peso P e la masa puntual ( o pequeña esfera) m, cuando está en la posición A, se descompone en dos fuerzas, F y T. La fuerza T es asumida o contrarrestada por la tensión del hilo suspendido en O. La fuerza F hará que la masa se desplace en su dirección pues no hay nada que equilibre su efecto.

La fuerza F irá disminuyendo a medida que la masa se acerque a la posición de equilibrio, tal como muestra en la posición B la figura, hasta que la única componente sea vertical (posición C). Superada la posición de equilibrio a causa de la energía cinética adquirida en su caída, la masa ascenderá hasta D con una fuerza en oposición cada vez mayor, que alcanzará en dicho extremo de la trayectoria, para volver a descender hasta C, y así sucesivamente se irá repitiendo el movimiento de vaivén.

• ECUACIÓN DEL PÉNDULO SIMPLE

PERÍODO

Como se ha indicado la masa del péndulo simple está sometida a una fuerza recuperadora variable con la distancia a la posición de equilibrio, es decir, F= -kx; siendo x el arco de circunferencia medido sobre la trayectoria circular del móvil m, como se indica en las siguientes ecuaciones, en la que además se puede observar lo siguiente:

F= -kx => F= - k.l.

Por otra parte:

F= - mg sen

(El signo es negativo porque se considera a F como una fuerza recuperadora y por lo tanto opuesta al movimiento). Esta fórmula nos indicaría que la fuerza no es proporcional al ángulo sino a sen , con lo cual no podemos decir que el movimiento sea totalmente armónico simple, pero para ángulos no muy grandes , es decir para amplitudes pequeñas, que es el caso supuesto para péndulos simples , podemos decir que sen " , con lo cual:

F= - mg sen " - mg

Igualando ambas expresiones:

-k.l. = - mg => k.l = mg => k= mg

l

De donde se puede concluir que para pequeñas amplitudes, la constante de proporcionalidad del movimiento es directamente proporcional a la masa, e inversamente proporcional a la longitud del péndulo, y la fuerza quedará reflejada en la expresión matemática:

F= _ mg . x (J)

l

De esta ecuación para el péndulo simple de pequeña amplitud podemos deducir el período del péndulo matemático. Si recordamos que

T= 2  m

k

Para este caso con k= mg obtendremos:

l

T= 2 m

mg

l

es decir:

T= 2  ll ((s)

g

Siendo l la longitud del péndulo y g la gravedad del lugar donde oscile.

PÉNDULO DE TORSIÓN

Se dice que un cuerpo se desplaza con movimiento armónico de rotación en torno a un eje fijo cuando el ángulo de giro resulta función sinusoidal del tiempo y el cuerpo se encuentra sometido a una fuerza recuperadora cuyo momento es proporcional a la elongación angular. Las ecuaciones que rigen este movimiento se obtienen por sustitución de las magnitudes lineales del movimiento armónico simple por las respectivas magnitudes angulares. Así pues, la elongación angular será:

= o sen wt

Donde es la elongación angular y o la amplitud de la oscilación. Por derivación de la ecuación anterior respecto al tiempo puede obtenerse la expresión de la velocidad angular y de esta a su vez la de la aceleración angular( ):

Vel. Angular = d  = o w cos wt

dt

= d2   = - o w2 sen wt = -w2

dt2

La aceleración expresada en función del período puede también formularse como:

= _ 4 2 

T2

Un péndulo de torsión es un sistema físico formado por un filamento metálico unido por uno de sus extremos a un soporte fijo y por el otro al centro de gravedad de un disco oscilante en el plano horizontal. Por producirse un movimiento armónico de rotación, en el péndulo de torsión el período de oscilación vendrá dado por la expresión:

T = 2  I

k´

ENERGIA EN EL OSCILADOR ÁRMONICO SIMPLE

Para estirar o comprimir un resorte se debe efectuar trabajo. Por lo tanto, se almacena energía potencial en un resorte estirado o coprimido. Pero antes veamos el movimiento de un péndulo simple:

La energía potencial es:

EP = 1/2KX2 (1)

Así, ya que la energía mecánica total E es la suma de las energía cinética y potencial, tenemos que

EP = 1/2mV2+ 1/2kX2 (2)

Donde v es la velocidad de la masa m cuando está a una distancia x de la posición de equilibrio. Siempre que no haya fricción, la energía mecánica total E permanece constante. Cuando la masa oscila para uno y otro lado, la energía se intercambia continuamente de energía potencial a energía cinética, y vioceversa y es la misma cuando esta comprimido o estirado el resorte hasta la amplitud total. En esos puntos extremos, la masa se detiene momentáneamente al cambiar de dirección, de modo que v = 0 y

EP = 1/2m(0)2+ 1/2kA2 = 1/2K A2 (3)

Así, la energía mecánica total de un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. En el punto de equilibrio, x = 0, toda la energía es cinética:

E = 1/2mV02+ 1/2k(0)2 = 1/2M V0 2 (5)

en la que V0 representa la velocidad máxima durante el movimiento que se da cuando x = 0. En los puntos intermedios, la energía es en parte cinética y en parte potencial. Combinando la ecuación 2 y 3, podemos deducir uan ecuación útil para la velocidad como función de la posición X:

1/2mV2+ 1/2kx2 = 1/2MA 2 (6)

Despejamos a V2:

V2 = K/M(A2 - x2) = K/m*A2(1 - x2/ A2) (7)

De acuerdo con la ecuación 3 y 4, tenemos que 1/2mVo2= 1/2mKA2, y entonces Vo2 = (k/m)A2. Introduciendo esto en la ecuación anterior, y sacando raíz cuadrada, llegamos a

V= ±Vo"(1 - x2/ A2) (8)

Esto da la velocidad del objeto en cualquier posisción X. El objeto se mueva de unlado para otro, y entonces su velociadad puede ser en dirección positiva o negativa, péro su magnitud solo depende de la magnitud de x.

Entonces podríamos decir que se demuestra con facilidad que la ecuación 2 tambien vale para un resorte vertical. Si tomamos como punto de referencia para calcular la EP, la longuitud natural del resorte, como en la Fig. 11-3a, entonces, la EP en la nueva posición vertical de equilibrio (fig 11-3b) es EP = (1/2kXo2 - mgXo, en la cual incluimos la EP elástica y gravitacional. La EP cuando el resorte está estirado una distancia adicional x, como en la figura 11-3c, es EP = 1/2k(X+ Xo)2 - mg(X +Xo): La diferencia entre ellas es (recuerdese Xo = mg/k):

1/2k(X+ Xo)2 - mg(X +Xo) - 1/2kXo2 - mgXo = 1/2kX2 + KgXXo - mgX

= 1/2kX2 + KX(mg/k) - mgX

= 1/2kX2

Así la Energía potencial del sistema, en la reación con la posición vertical del equilibrio se da por 1/2kX2 , y la ecuación 2 se conoce que es valida para un resorte vertical, al igual que para uno que oscile en dirección horizontal.

ENERGÍA DEL MAS

La fuerza que actúa sobre una párticula que vibra con MAS depende de la posición (F = -kx), entonces se da que esta será una fuerza conservativa, que mantiene constante la energía mecánica total del sistema:

Em = Ec + EP = cte.

La energía cinética en un instante cualquiera es

Ec = 1/2m.V2, donde v = ± wA cos(wt+ ) y m = K/w2

Ec = 1/2(k/w2) w2A2cos2(wt + )

Como cos2 (wt + )max = 1 , tenemos:

Ec max = 1/2m.w2A2 = 1/2kA2

Durante el movimiento, la energía cinética varía entre cero y el valor máximo indicado.

La energía potencial en un instante cualquiera es:

Ep = 1/2kx2, donde x = ± A sen(wt+ )

Ep = 1/2k [A2sen2(wt + )]

Ep = 1/2k A2sen2(wt + )

Como sen2 (wt + )max = 1 , tenemos:

Ep max = 1/2kA2

Durante el movimiento la energía potencial varia entre cero y el valor máximo indicado.

En el transcurso de la oscilación hay un continuo intercambio de energía potencial y cinética.

Cuando la partícula se aleja de la posición de equilibrio, la energía potencial incrementa su valor,o a expensas de una disminución de la energía cinética y viceversa.

Se explica en el siguiente gráfico:

Generalizando se tendrá que:

Em max = 1/2mVx2 +1/2kx2 = 1/2mV2 max = 1/2k A2

Donde Vx es la velocidad de la partícula en la posición X, y Vmax es la velocidad de la partícula en la posición de equilibrio (Vmax = wA).

BIBLIOGRAFÍA:

• WWW.ALTAVISTA.COM/APUNTES DE FISICA

• http://www.ccbb.ulpgc.es/fisica/docencia/euitt/apuntes/ondas/ondasweb.html

• ZEMANSKY, Fisica General, Páginas 212, 213, 214, 215, 216

• VALLEJO, Fisica, Tomo 2.

• BLATT, Física, MAS

X= arco CD = radio . ángulo = l .

F= P sen = mg sen

T= P cos = mg cos

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Definición: es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.

Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.

Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.

Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.

Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).

Elementos:

1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.

2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.

3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.

4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra "t".

5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.

6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme

El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (­M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la circunferencia que recorre.

En lo siguiente podrás visualizar dicha relación.

Vamos a establecer una relación entre un movimiento vobratorio armónico simple y el movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas:

- Hallar la ecuación del MAS sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.

- Conocer de donde vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAS, como frecuencia angular o el desfase.

Observando el applet que viene a continuación. Tememos inicialmente el resorte azul, que oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento circular uniforme, ocupando en cada instante una posición en la circunferencia. Traza mentalmente la proyección de esa posición sobre el diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la masa que cuelga del resorte ocupa una posición determinada.  Observa que la posición de la masa del resorte coincide exactamente con la proyección de la posición del objeto sobre el diámetro, que verás en forma de línea azul en el diámetro vertical.

Es decir, como resumen, cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un movimiento armónico simple.

Lo mismo podríamos decir del resorte amarillo y la proyección sobre el diámetro horizontal, que verás como un trazo amarillo sobre dicho diámetro.

Los vectores azul y amarillo, que varían en el applet, corresponden al valor de la velocidad del resorte, azul para diámetro vertical y amarillo para el horizontal. Observa su variación y comprobarás que la velocidad es máxima en el centro de equilibrio del resorte y mínima en los extremos, en los puntos de mínima y máxima elongación. Observa también como el vector rojo de la gráfica de la derecha, la velocidad del MAS, coincide con el vector azul, la velocidad de la proyección sobre el diámetro vertical, lo que supone una prueba más de lo que hemos afirmado anteriormente.

Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple

Fórmulas:

x = A . cos . w . t

x = elongación

r = A = radio

t = tiempo

w = velocidad angular

Vx = - V . sen Ø

V = w . r

h = w . t

w . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal.

Vx = proyección de "Y" sobre el eje "X"

h = ángulo

Vx = -2 . F . A . sen (2 . )

Vx = + w " A2 - x2

Ax = - w2 . A . cos. w . t

Ax = - Ac . cos Ø

Ac = proyección de aceleración sobre el eje horizontal

Ac = w2 . x

Ac = aceleración centrípeta

t = 2 " mk

T = periodo

Péndulo simple

Definición: es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:

• el hilo es inextensible
• su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo
• el ángulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeño

Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño.

Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos.

Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura 13.1.

Vemos pues que, considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está recorriendo, podemos poner

Que a veces también se expresa como .

Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por tanto su solución también será (13.2) teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el valor de antiguo por el que tiene ahora para un péndulo

A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia, etc.

Período de un Péndulo

Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Osc. ( tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones).

1) El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 pendulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una asmplitud de recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo.

2) El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.

Aplicaciones

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada.

Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

También sirve, puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris (latitud≅49º). Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el Péndulo señalaba la trayectoria: demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.

CONCLUSIÓNES

• El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.

• La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.

• El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.

• Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.

ANEXOS

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL M.A.S.

1.- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 N/m realiza un M.A.S de amplitud 4 cm. a) Escribe la ecuación de su posición en función del tiempo, si empezamos a contarlo cuando la soltamos desde la posición extrema. b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez por la posición de equilibrio. c) ¿Cuánto tarda en llegar desde la posición de equilibrio hasta una elongación de 2 cm? ¿Y desde 2 cm al extremo?. d) ¿Cual es la velocidad media para el recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilación?. e) ¿Será cero la velocidad media de una oscilación completa?

2.- Una partícula que oscila con M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo 2 s. Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una mientras va hacia un extremo y otra cuando regresa. a) Calcula estas velocidades. b) Escribe la ecuación de la posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando está en ese punto (3cm).

3.- Una partícula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a – 40x (N), estando x expresada en metros. Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen, con una velocidad de 15 m/s dirigida hacia el centro, calcula: a) La amplitud del movimiento. b) El instante en que pasa por primera vez por el origen.

4.- Un objeto realiza un movimiento armónico simple. Cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio su velocidades es 6 m/s, mientras que si la distancia es de 5 cm, su velocidades es 2 m/s. Calcula la amplitud del movimiento.

5.- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm, pero al colgar de su extremo libre una masa de 1 Kg, su longitud es de 14 cm. ¿Cuál será la frecuencia de oscilación de esa masa, cuando se desplaza verticalmente fuera de la posición de equilibrio? Nota: tomar g = 9’8 m/s2).

6.- Un punto material de 25 g describe un M.A.S. de 10 cm de amplitud y período de 1 s. En el instante inicial la elongación es máxima. Calcula: a) La velocidad máxima que puede alcanzar la citada masa. b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0’125 s.

7-. La energía total de un cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3·10- 4 y la fuerza máxima que actúa sobre el es 1’5·10-2 N. Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60º, determinar: a) La ecuación del movimiento de este cuerpo. b) Su velocidad y aceleración para t = 0.